Компьютер – не только средство «автоматизации» процессов, но и инструмент для изучения того, что ранее изучить было нельзя: напр., в математике – поведение сложных функций (где много вычислений), их представления в виде графиков, цветовых диаграмм и т.п.

Именно рез-том действия таких функций и являются интереснейшие матем. объекты – фракталы, обладающие любопытными свойствами и привлекшие внимание не только «физиков», но и «лириков»...

Фрактал – от лат. fractus (дробный, изломанный). Понятие было введено франко-американским математиком Бенуа Мандельбротом в середине 70-х гг. XX в. «Ф. – некоторое образование, обладающее свойствами самоподобия» или проще: «состоящее из частей, кот. в некотором смысле подобны целому». Широта определения вызвана весьма большими различиями объектов, относимых к этому классу.

рис. 1: простейшие плоские фракталы (изв. в математике за 100 лет и более до Мандельброта):

а) двоичное дерево или дендрит.

б) Пятиугольник Альбрехта Дюрера (нач. 16 в.) – построение квадратов на сторонах правильного пятиугольника дает в сумме подобный ему 5-угольник больших размеров

в) Гребень Кантора (1 из основателей теории множеств) (1883) – на основе изымания средней трети отрезка – повторение подобной операции до бесконечности ведет к образованию т.н. канторовской пыли, длина которой в сумме равна 0.

г) Знаменитая кривая Кох (придумана Хельгой фон Кох в 1904 г.) – на основе средней трети строится равносторонний треугольник – процесс также бесконечно повторяется – сумма отрезков в пределе равна бесконечности.

д) Решето Серпинского (1915) (Вацлав Серпинский – польский математик) - на основе равностороннего треугольника

е) Кривая дракона (автор – Дж. Хайвер) – ломаная линия, нигде не пересек. саму себя, постепенно заполняющая плоскость.

1. каждый уровень подобен целому
2. «тонкая структура» – допускается бесконечное увеличение
3. теоретическая многомерность (продолжать в любом количестве измерений.
4. Чем больше масштаб, тем больше длина – понятие «фрактальной размерности».

Собственно исследования Мандельброта состояли в обобщении несколько более сложного класса объектов – т.н. множеств Жюлиа-Фату. (т.н. множества с обратной связью – когда следующее значение функции вычисляется на основе предыдущего: x_n+1 = f(x_n)

но при этом существует нелинейная зависимость между результатами функции – например, это может выглядеть вот так: x_n+1 = x_n² + c

При определенных начальных условиях значение функции быстро стабилизируется на каком-то одном значении (т.н. аттракторе), а в других случаях – уходит в бесконечный хаос. Наибольший интерес представляла граница перехода функции от порядка к хаосу. Гастон Жюлиа писал о возможных самоподобных свойствах этих границ, но не мог и предполагать, насколько удивительно эти границы выглядят – это осуществил при помощи компьютера Б.Мандельброт. см. рис.2 а)-е)

а)вокруг одного аттрактора

б)несколько аттракторов.

в)дендрит...

Ни одна из фрактальных математических моделей не встречается в природе в чистом виде (бесконечное увеличение невозможно), но эти модели в состоянии описать самые существенные свойства множества природных объектов. (одна из главных книг Мандельброта носит название «Фрактальная геометрия природы»). «Сценарий проникновения в хаос» наблюдается во множестве естественных систем: турбулентность в жидкостях, и колебания в электросетях и химических средах, и множество биологических процессов... Кроме того, путем введения случайности в поведение фрактальных функций, можно добиться весьма естественных изображений (пример 6).

Эти модели имеют прямое отношение к наличию взаимосвязи в природе – многие различные процессы имеют сходное поведение – некие универсальные законы. Это явилось причиной интереса к ф-лам во вненаучной среде – наряду с их красотой, пропорциональностью и «натуральностью», сложностью из простоты – и одновременно иррационализмом! а также, напр., в музыке – возм. снятие обвинений в надуманности техники композиции – «вот она, природа!»

В 80-е гг. начинается волна «фрактальных» исследований в философии и искусствознании. Термин «фрактальности» нередко используется в виде своеобразной метафоры, почти синонима таких понятий как «пропорциональность», «самоподобие на нескольких уровнях», «теория золотого сечения» и т.п. (аналогично ситуации с известным героем Мольера, кот. обнаружил, что «говорит прозой»). – это приводит к многочисленным спекуляциям. (Встречаются, например, такие работы как «фрактальность в филос. дискурсе» и «фрактальная структура интернета»).

В музыке приложение элементов фрактальной геометрии – в трех основных областях:

1. композиция
2. синтез звука
3. аналитические исследования. (напр., исследования Ричард Восс (Voss) и Джон Кларке (Clarke) «Розовый шум в музыке; музыка из розового шума» – материал для анализа: I Бранденбургский концерт Баха; регтаймы Джоплина – анализ спектральной плотности звучания)

В музыке существует немало явлений, облад. св-ми фрактальности (=«самоподобия»). 1) золотое сечение 2) деление длительностей 3) тактовая организация в метрическом периоде 2-такты, 4-такты, 8-такт (кстати, любопытно сопоставить момент исчезновения метрич. зависимостей (между 3-й и 4-й степенью двойки) с моментом фазового перехода в «сценарии хаоса» – коэффициент прироста равен примерно 3, 57 – тоже м.б. тема для интер. исследования); мензуральные каноны, некоторые виды мотивных и серийных преобразований. Редким примером последовательного проведения принципа самоподобия являются Электронные этюды 1 и 2 Штокхаузена: организация на всех уровнях (от тембрового до композиционного) согласно одному и тому же сериальному принципу.

4 основных способа использования. Классификация молодого голландского музыковеда Нильса Путтеманса:

1. конвертация графического изображения. Само изображения фрактала конвертируется в двумерную партитуру (координаты высота-время), причем может учитываться как графическое расположение точек, так и их цвет (например, для переключения тембров)
2. по формуле: определение высот и длительностей звуков посредством арифметических расчетов согласно фрактальным алгоритмам.
3. по генезису. определенный музыкальный параметр трансформирован таким образом, что результат этого заполнения демонстрирует фрактальный характер. Т.е. сами фракталы не используются, но если бы потребовалось уложить в формулу результат такой композиции, то тогда для этого наиболее пригодными были бы фракталы.»
4. Фрактальная композиция через игровое поведение. алеаторические структуры, в кот. исполнители взаимод. на основе некоторых правил, создавая на протяж-и пьесы своего рода модель поведения в сложных системах.

Большинство композиторов предпочитают одну, максимум две категории из четырех перечисленных. В осн. – «университетские» композиторы. В США это поколение учеников Бэббита, также испытавших на себе влияние Ксенакиса – это Ч.Додж, Г.Нельсон, М.МакНабб, Б.Эванс, Л.Остин, Ч.Вуоринен. В Европе это прежде всего Д.Лигети (ф-ные соч-я, одно из них мы сегодня рассмотрим), а также Д.К.Литтл (Нидерланды).

Выбор примеров – не обяз. руководствовалась худож. ценностью произведений; а демонстрация разнообразия подходов.

I пункт (конвертация графики) на практике дает наименее интересные результаты (музыка – временное искусство, и в ней не столь очевидна гармония пропорций, так хорошо схватываемых зрительно) Существует немало компьютерных программ перевода фракталов в звук, одна из известных – «Хорошо темперированный фрактал» Роберта Гринхауза из Калифорнии. В ней десять различных типов фракталов могут быть «воспроизведены» при помощи 21-го варианта звукоряда (все – в темперир. системе… интересно, что хроматическая гамма отсутствует!); звуковой результат может варьироваться по динамике, артикуляции, октавному расположению. Он записывается в стандартный MIDI-файл. Автор программы не ставил перед собой цели создать «цельное произведение»; полученный результат он предлагает использовать как «сырой материал для будущей композиции».

Пример – пьеса самого Гринхауза, в основе – фрактал Иванова (рис. 6); материал – звук. послед-ть в натур. минорном звукоряде, с равновеликими длительностями + строгий канон и октавные дублировки +автор досочинил партию ударных и струнных. Продолж-ть пьесы – 12 минут.

(1-я страница партитуры)

II. «по формуле». Рассмотрим композицию амер. композитора и исполнителя на электронных инструментах Гарри Ли Нельсона (профессор, директор отделения музыкальной технологии в Оберлин-колледже; в 60-е годы он работал вместе с Г.М.Кенигом в Утрехте. затем некоторое время работал в парижском Иркаме; гость одного из фестивалей «Альтернатива» в Москве) «Путешествие галеры Йота» (1993 год, для фонограммы) – пьеса «отображает путешествие от Средиземноморья до Южной Америки на мифическом корабле, именуемом «Golah (т.е. галера) Iota».

В основе композиции лежит «сценарий перехода к хаосу» бельгийского математика Ферхюльста (40-ее гг. XIX в.) (см. рис. 7 - внизу – на нем и график, и формула) – изучение прироста популяции насекомых (?).если коэффициент прироста P меньше 2,5 – то быстрая стабилизация вокруг одного аттрактора; далее – бифуркации вокруг двух, четырех, восьми аттракторов и т.д., пока, при увеличении коэффициента P до 4, не наступает хаос, в котором тем не менее наблюдается самоподобие стремления к мельчайшим аттракторам. Этот график также обнаруживает самоподобие при увеличении. Формула (она же функция) использована на 2-х ур-нях: 1) макро-: как огибающая всего сочинения: распределение количества событий (значение P возрастает до 4 в точке золотого сечения пьесы и затем убывает до нуля); 2) микро-: для производства событий в микротоновом звукоряде: знач-я функции распределены в диапазоне семи октав (192 тона в октаве). Здесь не только микротоновая, но и микроритмическая техника: техника звуковых микрочастиц, – «гранул», продолжительностью менее 50 мсек. Создаваемая при помощи электронной аппаратуры высокая плотность «гранул» (до нескольких тысяч в секунду) порождает необычный эффект в виде многосоставного звукового комплекса с богатым, динамически изменяющимся во времени спектром, не связанным напрямую со звучанием какой-либо одной «гранулы».

Несмотря на то, что данный метод не является «синтезом звука» в традиционном смысле слова, он, тем не менее, носит название «гранулярного синтеза», поскольку получаемые этим методом звуковые события, как правило, невозможно синтезировать ни одним из известных методов + сложение «гранул» происходит на столь мельчайшем уровне, что это никак нельзя отнасти к области ритма.

III. по генезису.

а) Ч.Додж "Profile". Чарльз Додж - амер. композитор. ученик Люэнинга и Бэббита в Принстонском университете, проф. Бруклинского и Дартмутского колледжа, соавтор известной книги "Клмпьютерная музыка: синтез, композиция и исполнение". Интересы в композиции: синтез речевых и вок. звуков, нередко с применением элементов серийной техники. Интерес к фракталам - в начале 80-х гг. Пьеса Profile - довольно ранний пример, 1984 год (за ней последовали другие пьесы в той же технике).

Трехголосный полифонический склад. Каждая мелодическая линия получена стохастическим методом (генератор фрактального шума). Генерация нот прекращается после появления определенного количества звуковых классов - напр., для верхнего голоса их три; была получ. мелодия - рис. 8-а); теперь напротив каждой ноты в. голоса выстраивается фраза в среднем голосе - такая же генерация, до пяти в. классов (рис. 8-б); затем против каждой ноты во II голосе - фраза (до 4 в. классов) в нижнем голосе - в результате - своего рода трехголосный нестрогий мензуральный канон (голоса не идентичны, но самоподобны - как различные уровни измерений во фрактале, например. в кривой Кох). - рис. 8-в). Звуковой результат - ощущение общая взаимосвязанности и статики (также благодаря использованию интерполированных синтезированных тембров)

(по статье в Computer Music Journal)

б) Пример из инструментальной музыки. Из II тетради фортепианных этюдов Д.Лигети – этюд «L'escalier du diable» («Чертова лестница») – и номер его не случаен – 13! Известен интерес Лигети к фракталам, переписка и т.п. Однако Лигети никогда не использовал в своей музыке фракт. формулы напрямую, предпочитая их общеассоциативное воздействие. »Прямое перенесение положений фрактальной геометрии я считаю ребячеством. <...> Я пытался найти музыкальные аналогии фрактальным фигурам, но без калькулятора, без математики.» Подобные аналогии есть, напр., в IV части его Фортепианного концерта – «мелодические модели, которые выстроены в итерированную систему, то есть систему с обратной связью». Музыка начинается очень тонко, прозрачно, разрозненными построениями. Постепенно она уплотняется путем самонанизывания, наложения этих построений самих на себя.».

Влияние на оба цикла ф-ных этюдов оказало не только увлечение Л. фракталами, но и его интерес к внеевропейским ритмическим системам (африканские ритмы), к средневековым техникам талеа и колор, к творчеству амер. композитора К.Нэнкэрроу, создавшего сборник сверхсложных этюдов для самоиграющего фортепиано с и др.

Название этюда имеет прямое отношение к математике: «чертова лестница» – феномен, связанный с т.н. «канторовским множеством» (пример 8 - внизу): она имеет «неравные ступени», почти везде вертикальную крутизну, и уходит в бесконечность. Лигети выстраивает свою «музыкальную лестницу» – восхождение, воплотив отношения «двойственности» и «тройственности» через по-особому организованное чередование гемиольных ритмич. ячеек – 2/8 и 3/8. Начало пьесы строится на метрической модели. состоящей из «подгрупп»: 7, 9, 11 и 9 восьмых (после полуторатактового «вводного построения»). Звуковысотная модель сразу выступает в асинхронии с ритмической: каждая новая «ячейка» – со след. ступени хром. гаммы; своеобразную «гармонию» выстраивают ступени целотонового звукоряда от Ges – в результате – «дьявольское» сочетание целот. с хроматикой. Бесконечность подъемов – невозм-ть достижения вершины. «Уход в никуда».

2 первых страницы Этюда

IV. по поведению. Рассмотрим своеобр. «партитуру» и свод правил для исполнителей в произведении Д.К.Литтла «Brain Wave»; (»Волна мозга»). (рис. 10). Три музыканта импровизируют не только согласно заданным правилам, но и в зависимости от действий впереди и сзади сидящих др. музыкантов (т.е. некое коллективное бессознательное)

Композитор стремится создать «интерактивную ситуацию не только как модель природных процессов», но и как аналогию с работой человеческого мозга.

(подробнее - см. статью Д.К.Литтла "COMPOSING WITH CHAOS; Applications of a New Science for Music")